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MATEMÁTICA - ITA (2001)

1) Se a Î R é tal que 3y2- y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação

32x+1-3x+a= 0

é:


a)log26
b)- log26
c)log36
d)- log36
e)1 - log36
Resposta


2) O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x4-20x3+ax2-25x+b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:


a)36
b)41
c)26
d)-27
e)-20
Resposta


3) Se z = 1 + iÖ3, z X e aÎ [0,2p] é um argumento de z X w, então a é igual a:


Resposta


4) O número complexo

a Î ]0, p/2[
tem argumento p/4. Neste caso, a é igual a:


Resposta


5) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:


a)8
b)9
c)10
d)11
e)12
Resposta


6) Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x +y)m , temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é:


a)80
b)90
c)70
d)100
e)60
Resposta


7) A respeito das combinações

temos que, para cada n = 1,2,3,..., a diferença an - bn é igual a:


Resposta


8) Sejam A e B matrizes n ×n, e B uma matrizsimétrica. Dadas as afirmações:
I. AB +BA T é simétrica.
II. (A + A T +B)é simétrica.
III. ABA T é simétrica.
temos que:


a)apenas (I) é verdadeira.
b)apenas (II) é verdadeira.
c)apenas (III) é verdadeira.
d)apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e)todas as afirmações são verdadeiras.
Resposta


9) Considere a matriz

A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:


a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Resposta


10) Sendo a e b os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que
sen222b - 2cos2b = 0, então sen a é igual a:


Resposta


11) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:


a)9 e 8
b)8 e 6
c)8 e 7
d)9 e 6
e)10 e 8
Resposta


12) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:


a)63
b)65
c)66
d)70
e)77
Resposta


13) Seja o ponto A = (r, 0), r > 0. O lugar geométrico dos pontos P = (x, y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado da distância de P a A e o dobro do quadrado da distância de P à reta y = - r , é:


a)uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r.
b)uma elipse centrada em (r, -2r) com semieixos valendo r e 2r.
c)uma parábola com vértice em (r, -r).
d)duas retas paralelas distando rÖ3 uma da outra.
e)uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semieixos valendo r.
Resposta


14) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não-vazios.
Com respeito às afirmações:

temos que:


a)apenas (I) é verdadeira.
b)apenas (I) e (II) são verdadeiras.
c)apenas (I) e (III) são verdadeiras.
d)apenas (II) e (III) são verdadeiras.
e)todas são verdadeiras.
Resposta


15)


Resposta


16) Considere as funções

Se a é tal que h(f (a)) + h(g(a)) = p/4, então f(a) - g(a) vale:


Resposta


17) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função

está definida e é não-negativa para todo x real é:


Resposta


18)


Resposta


19) O polinômio com coeficientes reais
P (x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a soma dos coeficientes é igual a:


a)-4
b)-6
c)-1
d)1
e)4
Resposta


20) Sejam m Î > R, 0. Considere o sistema

O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução não-trivial é:


a)1
b)2
c)4
d)8
e)2 log2 5
Resposta


21) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?


a)375
b)465
c)545
d)585
e)625
Resposta


22)


a)an - 2bn
b)2an - bn
c)an - bn
d)bn - an
e)an + bn
Resposta


23) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12 m3, temos que a altura da pirâmide mede (em metros):


a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Resposta


24) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a:


a)12
b)11
c)10
d)9
e)8
Resposta


25) O coeficiente angular da reta tangente à elipse

no primeiro quadrante e que corta o eixo das abcissas no ponto P = (8, 0) é:


Resposta